Dia X–O eterno retorno

     Fala pessoal, tudo beleza? Então, pra comemorar a volta – bem, queria dizer volta, e comentar todo empolgado sobre as coisas, mas pra variar estou enrolando com isto – e talvez encher um pouco de linguiça… Ah, nem sei bem o que falar, só sei que quero escrever, saca? x.x

     Bem, entrando no título, nada mais adequado que pegar uma ideia de Nietzsche, justamente a que inicia este texto: A noção do eterno retorno – que tem eras que eu li o Assim falou Zaratustra, O Anticristo, e o Humano, demasiado humano, então me corrijam se eu passar da conta – é que, como podemos pensar, uma hora as coisas começam a se repetir. E ele encara isso de maneira mais ou menos literal, assim chega a um ponto de nossa vida onde as coisas simplesmente começam a se repetir, como se preso em um loop eterno, inexorável. Acho que na época – 17/18 anos – achei a ideia bem boba, mas olhando hoje, não diria que isso é de todo estranho. Digo isto mais pelos ciclos de marasmo que eu tenho, e que provavelmente a maioria das pessoas têm; dias repetidos, fazer sempre a mesma coisa, ter ações diferentes e sempre voltar ao que era no começo. Não estou falando da rotina, que é outra coisa, mas da inércia que pode acometer o ser. E engraçado como, extrapolando um pouco o pensamento, essa inércia é justamente o mal que até nos impede de mudar as coisas, o famoso medo do desconhecido…. Enfim, a ideia é justamente desse pensamento de Nietzsche, e acho que a evoquei pois quero exorcizar este meu demônio.

     Agora, fugindo do assunto, deu vontade de falar um pouco da situação atual, ou de coisas que queria fazer por aqui, mas vou simplesmente falar um pouco de geometria de Weyl; na verdade, vou preguiçosamente falar um pouco pra vocês sobre a dita cuja, para testar se ainda funciona a inserção de comandos de LaTeX por aqui ^^

1 – Equivalência conforme em Variedades diferenciáveis.

     Para começar, tomemos $M$ como uma variedade diferenciável de dimensão $n$, e $C(M)$ o conjunto de todas as métricas definidas em $M$. Neste conjunto, podemos construir a seguinte relação de equivalência: dizemos que $g_1$ e $g_2$ são conformalmente relacionadas se existe uma função $\lambda:M\rightarrow\mathbb R$ tal que, a cada ponto $p\in M$,

$$g_2(p)=e^{\lambda(p)}.g_1(p).$$

Assim, dizemos que $g_2\sim g_1$, e o conjunto $C(M)/\sim$, cujos são elementos são as classes de equivalência construídas, é dito classe conforme de $M$. Assim, o par $(M,[g])$ é dito uma métrica conforme  em $M$.

2 – Conexão de Weyl.

     Bem, vamos agora dotar $(M,[g])$ de uma conexão linear. O problema aqui é que, apesar de cada representante de $[g]$ induzir naturalmente uma conexão riemanniana, a conexão é diferente para cada membro, o caráter riemanniano de um dos representantes não é “preservado” quando trocamos de elemento, “quebrando” a invariância conforme. Mas Weyl mostrou que podemos, dentro da classe, introduzir uma conexão linear $\nabla$, da seguinte forma: A cada representante da classe, associamos uma 1-forma $\omega$, de tal forma que

$$ \nabla_X g=\omega(X).g,$$

Assim, quando efetuarmos a mudança entre elementos de $[g]$, esta relação será preservada se tivermos a mudança

$$ \omega_2=\omega_1+d\lambda$$

onde $d\lambda$ é a diferencial da função $\lambda$.

-----

Outro dia continuamos com isto, bora ver se cola xD

     See ya at the next savepoint,

Aurélio.

Ps.: Sim, tem um tempo que este texto está no rascunho, e mais do que nunca, esta inércia dos infernos se adequa ao bendito do texto. Eu quero exorcizar isto de mim, sabe? E por mais que isto pareça uma vitrola quebrada, que ainda seja a mesma lenga-lenga de sempre, eu tenho que mudar, pelo simples motivo de que não dá mais; como dominarei o mundo se não consigo nem acordar cedo pra fazer café para a minha mulher? Se nem consigo por ordem nos meus pensamentos, na minha vida? Ah, isto está virando outro texto, então vou deixar esta lamúria para outra hora, e que Lenneth nos ajude a esconjurar esta porra! \o/